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《华尔街数学》书摘-七步成诗

在贴出了《华尔街数学》书评之后,不少朋友都表示很感兴趣,希望能够一睹为快。在征得原书作者樊一中博士的同意之后,在此贴上其中的一篇文章《七步成诗》。一中利用物理学里的胡克定律来估计金融定价模型的误差,确实可以说是信手拈来,天衣无缝。类似的佳话在金融学里还真不少见,比如著名的 Black–Scholes期权定价模型,就是利用物理学里的热传导方程来求解的,并因此获得1997年的诺贝尔经济学奖。机遇总是偏爱那些有准备的头脑,此言不虚

七步成诗

据说,著名化学家Kekulé梦见一些火堆和一条蛇,当火堆越来越近时,蛇忽然首尾相连,变成一个六角形,他立刻惊醒……一个划时代的发明“苯环六角形结构”就这样产生了。

高中物理有一条胡克(Hooker)定律,该定律说,一弹簧偏离原点后,所产生的力与位移成反比。著名物理学家 Edward Witten 曾把物理知识应用于数学而得到菲尔兹奖[1],本文讲的是将物理知识应用于金融业。当然,得奖是不可能的了,那时我已经过了不惑之年。

有一天,Tom Ho 来到我的工作间,而不是像往常那样打电话叫我去。他说公司接到一个订单,替韩国一家银行做某金融产品的合理价格模型(rich-cheap model),想来是卖高买低,用来“投机倒把”的。模型早已做好,但没法按照合同规定,提供一个关于模型准确程度的验证,问我能不能做一下,我当然说行。

我问他几天交货,他说24 小时,行吗?

天哪,他把我当曹子建了[2]。

他给我的数据是一个Excel 文件,有该产品好几年的交易记录以及模型的预测价格。这些交易日有连着的,也有不连的,有些“连接”是跨越周末的,非常杂乱。曹植作诗论兄弟不得涉及兄弟,我要验证模型,连读懂模型的时间都没有。他过来时约三点,我到下班也没半点头绪,就只好回家时在地铁上继续想。地铁开开停停,昏昏欲睡,最后不知是否地铁的加速减速使我突发灵感,想到了胡克定律,到家的时候,已经基本思考停当。

现在假定模型的价格是对的,假定做买卖的也是理性的。那么价格偏高,就会有卖压,如果偏低,就会有捡便宜的。偏离的越多,回到合理价格的压力就越大。定性来看,这就是胡克(Hooker)定律。我现在想看看它定量符合有多好。如果把价格变化看成物体运动,根据牛顿第二定律,价格变化的加速度应正比于价格偏离。我们把天作为时间轴的单位,把价格偏差作为纵轴,这时,就有了价格的运动曲线。

由于曲线是离散的,我们必须用差分法来计算加速度,这要求至少有3 个连续交易日,如有5 个或7 个就更好了。我看了数据,觉得只能使用3 个交易日,跨周末也要算进去,否则样本空间太小了。只连续两天或孤岛交易日就扔掉。这样三个交易日提供一个点,四天提供两个点,依此类推,记得一共采集到上千点。然后将加速度为横轴,价格偏差为纵轴作图,如果模型是完美的,所有点应该在一条直线上。经测试,R-Square 略低于50%,点尽管不在一条线上,但带状区域还是很明显的,当然,这带状嫌宽了点。

我告诉老板,这物理模型用来预测价格当然不行,但用来证明模型的精度应该是可以的。

我小时候就知道(或听说)著名化学家Kekulé 发现苯环六角形结构的传奇故事。他醉心于此多日,有一次回家路上在马车上,马蹄踩着石子路的单调声音使他睡着了。他梦见一些火堆还有一条蛇,当火堆越来越近时,蛇忽然首尾相连,变成一个六角形。他立刻惊醒,按照这个故事,一个划时代的发明就这样产生了。《引言》中说,解出这类问题需要功力,经验,运气等等。这儿,运气多少有点作用。我的灵感是否真的来源于昏昏欲睡之中的地铁加速减速,我自己也不知道,但我自己认为,把这个问题这么短时间解出来,无论如何有运气的因素。当然,这运气是以功力和经验为前提的。

牛顿定律和胡克定律是高中生都懂的,用差分法算二阶导数是理科大学生人人都会或一学就会的,卖高买低则是任一家庭主妇或农村大娘都懂的道理。胡克定律的数学形式非常简单,但关键是如何将它和其他这些极其浅显的知识联系起来。公司上下都知道我是Courant 数学研究所来的数学博士,我给Tom 的电邮是这样结尾的,“我是个数学家,也是个物理学家”。I am a Mathematician as well as a Physicist。

[1] 菲尔兹奖(Fields Medal)是数学界最高奖项之一,得奖者年龄不得超过40 岁。

[2] 三国曹丕,欲害其弟曹植(字子建),令其七步成诗,否则杀头。这难不倒曹植。曹丕又令曹植以兄弟为题作诗,但不得用兄弟二字,这次连一步都没给。曹植当即成诗一首,就是那首著名的:煮豆燃豆萁,豆在釜中泣。本是同根生,相煎何太急。

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